[Linear Algebra] Gilbert Strang 課程心得（一）

我最近聽 MIT 的 Gilbert Strang 教授的線性代數課程，有學到一些之前沒想過得觀念，因此記錄心得。

Lecture 1：




在這一講中，教授了線性代數的基本出發點：基底向量在空間中的角色。
線性代數的出發點，如下面的系統：

2x -   y  = 0

-x + 2y  = 3

這兩個式子就是數組，經過線性操作運作，會變成另一群數字的過程。
教授提出 row picture 跟 column picture 的觀念。
用 row picture 的角度，這兩個式子，代表：

[-2  -1][x]      [0]

[-1  -2][y]  =  [3]

即

Ax = b

這個矩陣式子，可以理解成某個向量 x 經過 A 系統的操作之後，x 被轉變成另一個向量 b。這個 b 有可能代表向量被旋轉，或者被伸縮。這看起來很類似一元一次方程式，而線性代數事實上也是將矩陣求解視為一元一次方程式。

對於 column picture 的角度而言，這兩個式子變成：

  

   [2]          [-1]      [0]

x [-1]  +  y [2]    = [3]

用這個觀點，整個問題就變成兩個向量（column vector）是否能展延出另一個向量。

結論

1. Ax = b 可以視為，若 x 已知，則要將 x 轉換成 b，可以想辦法找一個 A 矩陣當作工具，對 x 做內積運算，產生 b 。只要找到這個 A 矩陣，就可以重複利用，到處去對任何 x 以外的其它向量，做相似的轉換的工作。
2. 換另一個觀點，若 x 向量未知，則 Ax = b 的意義變成如何將 A 矩陣的 column vector 展延成 b 向量。
3. 求 A 的過程，可以視為歸納法：假如在生活中，我們看到許多樣本數據有類似的變化，若模擬出 A，則新樣本出現時，可以用 A 來預測樣本將來變化的結果。
4. 求 x 的過程，則像是求出要如何操作，才能將最基本的組成元素展延出我們想要的結果。