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設以 O 為圓心的圓半徑為 r1，與另一圓心為 P 半徑為 r2 的圓相切。 兩圓有一公切線，交兩圓於 a、b 兩點。 今有第三圓（圓心為 Q，半徑為 r3）與上述兩圓均相切，且同時也與線段 ab 相切於 c 點。 試證明線段 ac 與線段 cb 的比例為 √r1：√r2 [Solution] 如圖所示，用兩個畢氏定理，即可證明：

複習一個競賽題目，這是一個好題： 有些正整數可以表示為連續正整數之和，例如 21 = 6+7+8，21 同時可以表示為 21 = 10+11，我們稱為 21 至少有兩種連續正整數和的表示法。 設一個正整數 n，可以表示為 6 種連續正整數之和，求 n 最小值。 （先想一想再看下面答案喔 ◕‿◕） [Solution] 我們先列一下最小的幾種連續正整數的情況。 a + (a+1) = 2a + 1 b + (b+1) + (b+2) = 3b+3 c + (c+1) + (c+2) + (c+3) = 4c+6 d + (d+1) + (d+2) + (d+3) + (d+4) = 5d+10 e + (e+1) + (e+2) + (e+3) + (e+4) + (e+5) = 6e+15 f + (f+1) + (f+2) + (f+3) + (f+4) + (f+5) + (f+6) = 7f+21 g + (g+1) + (g+2) + (g+3) + (g+4) + (g+5) + (g+6) + (g+7) = 8g+28 h + (h+1) + (h+2) + (h+3) + (h+4) + (h+5) + (h+6) + (h+7) + (h+8) = 9h+36 ......... 可以把這幾個式子，當成正整數產生器。 每個式子提供了 a, b, c ... 等參數，讓我們可以產生我們要的正整數 n。 我們目標為，尋找有沒有可能在最小的六個正整數產生器中，使得每個產生器都生成同一個正整數 n。 因此我們可以先把這幾個式子各自能產生的正整數，做基本分類。 2a+1 生成的正整數，必定為 odd （奇數）。 3b+3 生成的正整數，可能為  odd  也可能為 even（偶數）。 4c+6 為 even。 5d+10 為 even 或  odd 。 6e+15 為  odd 。 7f+21 為 even 或  odd 。 8g+28 為 even。 9h+36 為 even 或  odd 。 如果 n 為 odd ，可以挑選第 1、2、4、5、6、8 號產生器。 ...