[Contest] 連續正整數的和

複習一個競賽題目，這是一個好題：

有些正整數可以表示為連續正整數之和，例如 21 = 6+7+8，21 同時可以表示為 21 = 10+11，我們稱為 21 至少有兩種連續正整數和的表示法。
設一個正整數 n，可以表示為 6 種連續正整數之和，求 n 最小值。



（先想一想再看下面答案喔 ◕‿◕）































[Solution]
我們先列一下最小的幾種連續正整數的情況。
a + (a+1) = 2a + 1
b + (b+1) + (b+2) = 3b+3
c + (c+1) + (c+2) + (c+3) = 4c+6
d + (d+1) + (d+2) + (d+3) + (d+4) = 5d+10
e + (e+1) + (e+2) + (e+3) + (e+4) + (e+5) = 6e+15
f + (f+1) + (f+2) + (f+3) + (f+4) + (f+5) + (f+6) = 7f+21
g + (g+1) + (g+2) + (g+3) + (g+4) + (g+5) + (g+6) + (g+7) = 8g+28
h + (h+1) + (h+2) + (h+3) + (h+4) + (h+5) + (h+6) + (h+7) + (h+8) = 9h+36
.........

可以把這幾個式子，當成正整數產生器。
每個式子提供了 a, b, c ... 等參數，讓我們可以產生我們要的正整數 n。
我們目標為，尋找有沒有可能在最小的六個正整數產生器中，使得每個產生器都生成同一個正整數 n。
因此我們可以先把這幾個式子各自能產生的正整數，做基本分類。

1. 2a+1 生成的正整數，必定為 odd（奇數）。
2. 3b+3 生成的正整數，可能為 odd 也可能為 even（偶數）。
3. 4c+6 為 even。
4. 5d+10 為 even 或 odd。
5. 6e+15 為 odd。
6. 7f+21 為 even 或 odd。
7. 8g+28 為 even。
8. 9h+36 為 even 或 odd。

如果 n 為 odd，可以挑選第 1、2、4、5、6、8 號產生器。
如果 n 為 even，可以挑選第 2、3、4、6、7、8 號產生器。
很明顯 n 為最小值時必為 odd。
也就是 n = 3b+3 = 5d+10 = 6e+15 = 7f+21 = 9h+36，n 為奇數。
所以 n 必為 3、5、7、9 的倍數。5x7x9 = 315，經檢查發現符合上面的式子，故 n = 315，且此時
b = 104
d = 61
e= 50
f = 42
h = 31