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聽完 MIT 線代課程 Lecture 3 的心得記錄在此： (Gilbert Strang 的教學，真的有把線代的精隨傳遞出來，這也是我喜歡他的影片的緣故) 1.   兩矩陣相乘：A*B = C，代表把 A 的 column 做 combination 後一個一個 column 排起來變成 C，也可以想成把 B 的 row 做 row operation 後一個一個 row 排列起來變成 C 。 2.   兩個矩陣相乘：A*B = C，也可以視為 A 的 column vector * B 的 row vector 的總和，舉例： [2  7]                  [2]               [7]           [3  8]  [1  6]       [3] [1  6] +  [8] [0  0] [4  9]  [0  0]  =   [4]               [9] 我們觀察一下每一個 column vector 跟 row vector 的相乘，所代表的意義： 舉例來說： [2]                [2  12] [3] [1  6]  =  [3  18] [4]                [4  24] 我們不難發現，右邊的： [2  12] [3  18] [4  2...

利用年假，聽了 MIT 線代課程 Lecture 2 。 整理心得： 1.   matrix * column = column。亦即將 column 左乘矩陣會得到 column 向量。 2.   row * matrix = combination of the row。亦即矩陣左乘 row 向量，得到 row 的線性組合。 3.   對矩陣右乘另一個矩陣，形同作 column operation： [a  b] [0  1]    [b  a] [c  d] [1  0] = [d  c] 4.   用程式解線性系統 Ax = b 時，目標通常是將 A 做 row operation 變成上三角矩陣。因此用增廣矩陣代表此系統：[ A | b ] ，我們可以對 A 矩陣做一系列的 row operation，並得到增廣矩陣 [ I | b' ] ，則 b' 即為 x 的解。 5.   Inverse matrix 的本質： 試想有一個矩陣 A 為： [ 1  0  0] [-3  1  0] [ 0  0  1] 則 A 的 Inverse A' ，滿足 A'A = I ，所以 A' 其實就是將 A 的 row operation 逆向操作。 由於 A 的作用，為將第二個 row 減去 3 倍的第一個 row，因此 A' 就是此動作的逆操作： [ 1  0  0] [ 3  1  0] [ 0  0  1] 不需要用克拉瑪定理在求解逆矩陣。

以下是我自己設計的一道題目。 今有兩個式子。 式子一： a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 + ...... am*xm 式子二： b1*y1 + b2*y2 + b3*y3 + ...... bn*yn 其中 a1 ~ am 為常數且 a1 > a2 > ... > am， 且 b1 ~ bn 為常數且 b1 > b2 > ... > bn。 令 x1~xm 以及 y1~yn 皆為任意常數， 我們可以找到 p1~pm 以及 q1~qn 使得以下式子成立： a1*(x1-p1) + a2*(x2-p2) + a3*(x3-p3) + ...... am*(xm-pm) = b1*(y1-q1) + b2*(y2-q2) + b3*(y3-q3) + ...... bn*(yn-qn) 求 (p1+p2+p3+...+pm) + (q1+q2+q3+...+qn) 最小值？ [solution] 以下是我的想法。如有錯誤請指正。 假如等號左右兩邊沒有 p1~pm，也沒有 q1~qn，這樣的 Left Hand Side(LHS) 為：a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 + ... + am*xm，Right Hand Side(RHS) 為：b1*y1 + b2*y2 + b3*y3 + ... + bn*yn，LHS 和 RHS 先比較大小。 我們將 RHS 和 LHS 想像成槓桿左右力矩平衡的問題。a1～am 以及 b1～bn 視為力臂，x1~xm 以及 y1~yn 視為各個力臂位置的重量。今槓桿左右力矩不平衡，想抽掉重量，總共抽掉的重量要越少越好。 假設上述條件下，LHS 較小，就令 p1~pm 皆為 0。這是很明顯的，p1~pm 要為 0 才會是最佳解。否則 RHS 勢必要抽掉更多重量才能達到力矩平衡。 令 RHS-LHS = k。 找到 bc，使得 (b1*y1 + ... + bc*yc) = V > LHS，且 b1*y1 + ... bc-1 * yc-1  (p1+p2+p3+ ... + pm) + (q1+q2+q3+...+qn) 最小值即為 {yc - (V-LHS)/bc} + (yc+1 +...+ yn)。也就是我們將 b...